丈夫的背叛行为并不一定导致他无法获得孩子的监护权。
子女抚养权的确立是一个复杂的过程，需全面衡量诸多因素，如未成年人的年纪、父母双方的经济能力、家庭居住环境、教育资源以及儿童自身的意愿等等。
若丈夫的不忠行为对孩子的身心健康造成了负面影响，例如使孩子承受精神创伤、生活环境动荡不安等，那么这将有可能在抚养权的裁决中对他产生不利影响。
然而，即使存在这样的情况，如果不忠方在其他方便能为孩子带来更好的成长机会，那么他们也并非绝对地丧失争取抚养权的资格。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条
父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。
离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。