若您作为一名继父/母，发现您的继子存在欠款未清偿之事实，那么您完全有权要求他尽快地继续执行还款义务，也就是将所欠款项如数支付给您。
然而，若您的继子未能履行这一还款义务，您便可根据相关的合同条款以及法律法规，向他提出承担违约责任的要求，其中可能涉及到的内容包括但不仅限于赔偿由于延迟还款而给您带来的经济损失。
若您的继子依然拒绝还款，您可以选择向当地的人民法院提起诉讼，请求法院判定他必须偿还所欠款项及其相应的利息等费用。
在进行起诉的过程中，您需要提交一份详细的起诉状，并且按照被告的数量准备好相应的副本。
倘若您在撰写起诉状方面确实遇到困难，您也可以选择以口头形式进行起诉，由人民法院将您的诉求记录在案，并通知对方当事人。
若在法院作出判决之后，您的继子仍未履行还款义务，人民法院则有权对他采取一系列的强制措施，例如限制其出境、将其不良信用记录录入征信系统、通过媒体公开披露其不履行义务的信息等等，以此来促使他严格遵守法律文书中所确定的各项义务。

《中华人民共和国民法典》第五百七十七条
当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。