关于抚养权起诉费用的承担问题，具体情况如下：
一、预交费用
在抚养权起诉过程中，一般是由原告先行预交案件受理费。
这是起诉流程中的一个常规操作。
受理费的收取并非随意而定，而是会根据案件的具体情形来计算。
例如，如果案件涉及财产分割，那么就需要按照相关规定进行计算。
具体来说，会根据财产的数额、争议的复杂程度等多种因素，参照相关收费标准来确定预交的受理费金额。
二、最终承担
1.原告胜诉情况
若案件经过法院全面、细致的审理后，最终判决原告胜诉，那么通常诉讼费用会由被告来承担。
在这种情况下，预交费用的原告可以在后续的执行阶段，依据生效的判决文书，要求被告支付自己之前已经预交的费用。
2.原告部分胜诉情况
当原告部分胜诉、部分败诉时，法院会综合考虑案件的各种具体情况，包括双方的诉求、证据支持情况、争议焦点等，来合理确定当事人各自需要负担的诉讼费用数额。
3.原告败诉情况
若原告败诉，诉讼费用就需要由原告自行承担。
综上所述，起诉费用的预交和最终承担是两个不同的概念，最终由谁承担费用会根据案件的审理结果来确定，这也体现了司法的公平和公正。

案情回顾:

小朱和小李因孩子抚养权问题产生纠纷，小朱向法院起诉。小朱预交了案件受理费。法院审理后，判决小朱部分胜诉。此时，关于诉讼费用究竟该如何在两人之间分担产生了争议。

案情分析:

1、在起诉时，按照规定由原告小朱预交受理费是正常流程，费用会根据案件具体情形计算，若涉及财产分割等会参照标准确定金额。
2、小朱部分胜诉情况下，法院会综合双方诉求、证据及争议焦点等情况，合理确定小朱和小李各自应负担的诉讼费用数额。