在生活中，遇到相关问题是可以通过打官司来解决的，但具体要依据实际的诉求和情形，选择合适的法律途径。
下面为你详细说明：
1.索要抚养费：
当子女处于未成年时期，若父亲没有履行抚养义务，比如长期不支付孩子的生活费用、教育费用等，这种情况下，子女是有权向法院提起诉讼，要求父亲支付抚养费的。
从法律层面来讲，父母对未成年子女负有抚养教育的责任和义务。
这是基于亲情和法律赋予的双重责任。
那些不履行抚养义务的父母，其未成年子女或者不能独立生活的成年子女，是有充分的法律依据，要求父母给付抚养费的。
2.追究遗弃等刑事责任（较难构成）：
若父亲的行为极为恶劣，例如将年幼的子女遗弃在无人照顾的危险环境中，对子女的生命安全造成严重威胁等，达到了遗弃等犯罪的程度，此时可以向公安机关报案。
后续会由司法机关依据法律规定，对其追究刑事责任。
不过在日常生活中，仅仅是未尽责的情况，一般很难达到这样的犯罪标准。
3.赡养问题关联（成年后）：
子女成年后，即便父亲在其成长过程中未尽责，按照法律规定，在通常情况下，子女仍然有赡养父亲的义务。
但在实际履行赡养义务时，可以结合父亲未尽责的具体情况，在经济支持等方面进行合理的考量。

案情回顾:

小朱年幼时，父亲小李长期不支付其生活、教育费用。小朱成年后，小李年老体弱，要求小朱赡养。小朱认为小李未履行抚养义务，拒绝赡养，双方产生争议。且小李曾有将小朱短暂遗弃在偏僻处行为，小朱想追究其刑事责任。

案情分析:

1、在小朱未成年时，小李未履行抚养义务，小朱有权向法院提起诉讼要求小李支付抚养费，因为父母对未成年子女有抚养教育的责任和义务。
2、小李遗弃小朱的行为若达到对小朱生命安全造成严重威胁等犯罪程度，小朱可报案，由司法机关追究其刑事责任，但仅未尽责一般难构成犯罪。
3、小朱成年后，虽小李未尽责，但通常小朱仍有赡养义务，只是可结合具体情况在经济支持等方面合理考量。