依照我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的明确条款，若涉嫌参与斗殴的犯罪嫌犯或被告在具备以下其一情况之下，即可向司法机构提交取保候审的请求：1.社会危害性较小，有可能被判处管制、拘役或者独立适用附加刑的嫌犯或被告；2.可能会被判处有期徒刑以上刑罚，但通过实施取保候审措施不会对社会产生重大威胁的嫌犯或被告；3.身体状况恶化，生活无法自理，或是正处于妊娠期或哺乳期的母亲，同样在通过实施取保候审措施之后不会对社会构成危险的嫌犯或被告；4.在羁押期限即将届满之时，案件仍未得到妥善处理，需要采取取保候审措施的嫌犯或被告。取保候审的执行工作由公安机关负责。具体的操作流程通常包括如下几个步骤：1.由犯罪嫌犯、被告或其法定代理人向公安机关递交取保候审的申请；2.公安机关对申请人的条件进行严格审核，以确保其是否符合上述法律条款的相关规定；3.如申请人满足条件，公安机关将依法作出取保候审的决定，并向申请人颁发取保候审决定书；4.申请人需按照决定书的要求提供相应的担保或缴纳保证金；5.公安机关执行取保候审决定，对申请人进行严密的监督与管理。若申请人未能达到取保候审的条件，公安机关将拒绝批准取保候审，并向申请人详细解释不予批准的原因。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。