关于刑事拘留期间取保候审的申请和处理程序，通常是由公安机关负责执行。在犯罪嫌疑人或者被告人身陷囹圄之际，若其具备取保候审的资格与条件，那么他们的家属或代理律师有权向相关的执法机构提交申请。而在此之后，公安机关将根据案情的具体情况，严格审核并决定是否予以批准。一旦审批通过，申请人则需要按照规定缴纳相应数额的保证金或者提供可靠的保证人作为担保。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。