倘若涉事人员在醉驾事故发生后遭受了公安部门的刑事拘留，那么他们适用取保候审的程序如下：
第一步是由已经处于羁押状态下的犯罪嫌疑人或者被告人主动向办案单位提交要求批准取保候审的申请；紧接着是办案部门在接到申请后的七日以内，根据有关规定作出是否批准准予取保候审的决定并对此给予回复；
然后考虑提供保证人或者愿意缴纳保证金作为担保措施，经过办案部门对这些材料进行细致审查；对于通过审批的取保候审请求，则由办案机关为其办理相关的取保候审手续。

《刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的;
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的;
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的;
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。