自愿变更抚养权手续的办理，主要分为以下两种不同情况：
1.双方协议变更：
当双方都明确表示同意变更抚养权，并且经过深思熟虑，确认变更后确实对孩子的生活以及成长有着积极的促进作用时，便可以选择通过办理变更抚养权协议公证的方式来完成变更手续。
在具体办理过程中，双方需要做好充分的准备。
要准备好身份证，这是确认双方身份的重要凭证；户口簿，能反映家庭人员的基本信息；离婚证，证明双方的婚姻关系已经解除；离婚协议，明确之前关于孩子抚养等方面的约定；孩子的出生证明，用以证实孩子的身份信息等。
准备齐全这些材料后，双方一同前往公证处提出申请。
公证员会认真细致地对相关材料以及协议内容进行严格审查，只有在所有条件都符合规定的情况下，才会出具公证书，完成变更手续。
2.法院裁决变更：
如果双方无法就变更抚养权一事协商达成一致意见，那么其中一方可以向具有管辖权的法院提起变更抚养权的诉讼。
在起诉时，需要按照法律要求提交起诉状，清晰地阐述自己的诉求和理由。
同时，还需提供相关证据，例如能够证明对方不适合抚养孩子的具体证据，像对方存在不良生活习惯、经济状况不稳定等；以及能够表明自己抚养孩子更为有利的证据，如自身稳定的收入、良好的居住环境等。
法院在接到诉讼后，会依据具体的实际情况进行全面、公正的审理。
如果法院经过审慎判断，认为变更抚养权的请求是合理合法的，便会依法作出相应的判决。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，起初孩子抚养权归小李。后小朱认为自己条件变好，想变更抚养权。小朱与小李协商，小李起初同意，准备材料去公证处办理公证时又反悔。小朱遂向法院起诉要求变更抚养权，双方产生争议。

案情分析:

1、双方起初协商一致准备协议变更抚养权，按规定需准备好身份证、户口簿、离婚证、离婚协议、孩子出生证明等材料前往公证处申请，公证员审查合格才出具公证书。但小李反悔，导致协议变更无法完成。
2、小朱起诉后，需提交起诉状及相关证据，如证明小李不适合抚养孩子及自己抚养更有利的证据。法院会根据实际情况审理，若认定小朱请求合理合法，会依法判决变更抚养权。