刑事拘留乃是针对涉嫌违法行为者实施的一项法定强制措施，执行职责由公安机关承担。在实际操作中，若出现三名涉案人员同时面临刑事拘留的情况，通常将遵循单独审查的原则，以确保每位被告人的合法权益均能得以充分保障。该执行程序具体包括以下步骤：
首先，需依法确认拘留决定的合法性；
其次，向相关家属发出通知告知相关事宜；
再次，依法履行带离嫌疑人的程序；随后，对嫌疑人展开详细的审讯工作；
最后，将其送至指定的看守所进行羁押。在此期间，被告人享有的各项合法权益，例如与辩护律师会面的权利以及人身安全不受侵犯等，皆应得到严格保护和落实。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十条规定：
"公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：
(一)正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；
(二)被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的；
(三)在身边或者住处发现有犯罪证据的；
(四)犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；
(五)有毁灭、伪造证据或者串供可能的；
(六)不讲真实姓名、住址，身份不明的；
(七)有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。"