由于刑事案件中打斗行为所引发的刑事拘留是否能够申请取保候审，这完全取决于具体的个案情节。
根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》中的相关规定，假如嫌疑人可能被判处管制、拘役或适用独立附加刑的处罚，亦或是可能会面临有期徒刑以上的刑罚，但在采取取保候审措施后并不会对社会构成危害性时，那么便可以考虑进行取保候审。除此之外，对于那些身患严重疾病、生活无法自理，或者是正处于孕期或哺乳期的女性犯罪嫌疑人来说，她们同样有机会获得取保候审的批准。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。