当老人没有子女且遗留有财产时，财产的处理方式一般有以下几种情况：
1.遗嘱继承：
遗嘱继承是较为常见的一种财产处理方式。
若老人在生前留有合法有效的遗嘱，这份遗嘱会明确指定财产的继承人。
比如，老人可能因为某个亲人对自己悉心照料，或者与某个朋友有着深厚情谊，便在遗嘱中指定其为财产继承人。
在这种情况下，遗产将严格按照遗嘱的具体内容进行分配，被指定的继承人就能继承相应的财产。
2.遗赠：
老人还有可能通过遗赠的方式来安排自己的财产。
比如，老人可能非常关心某一公益组织的发展，或者对某个特定的个人有特别的情感和期望，便会通过遗赠的方式，将财产赠与法定继承人以外的个人、组织等。
只要存在合法有效的遗赠协议，财产就会按照遗赠的安排进行处理。
3.法定继承：
如果老人没有立下遗嘱，也没有进行遗赠安排，那么就会按照法定继承的方式来办理。
首先，老人的配偶、父母作为第一顺序继承人，有权继承其遗产。
若不存在第一顺序继承人，兄弟姐妹、祖父母、外祖父母作为第二顺序继承人来继承。
若连第二顺序继承人都没有，遗产将归国家所有；要是死者生前是集体所有制组织成员，遗产则归所在集体所有制组织所有。

案情回顾:

小朱是一位无子女的老人，留有一定财产。他生前曾立遗嘱指定悉心照料自己的小李为财产继承人，但又与公益组织签订遗赠协议欲将部分财产赠与该组织。小朱去世后，小李与公益组织就财产分配产生争议，且小朱无其他法定继承人。

案情分析:

1、关于遗嘱继承部分，若小朱所立遗嘱合法有效，小李作为指定继承人，有权依据遗嘱继承相应财产。遗嘱能体现老人对财产分配的意愿，在符合法律规定下应受法律保护。
2、对于遗赠部分，若遗赠协议同样合法有效，公益组织可按协议获得相应财产。当遗嘱继承与遗赠同时存在且均合法时，应分别按照各自的规定进行财产分配。